\chapter{Mathématiques : remarques \& astuces}

\epigraph{Les mathématiques peuvent être définies comme une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai.}{Bertrand \textsc{Russell}}

\label{chap-maths-details}\lettrine{J}{e} rédige très peu de formules mathématiques dans mon quotidien. Ne sois donc pas surpris : si ce chapitre paraît étonnamment court, il contient des informations précieuses !

\section{Remarques générales}

La commande officielle pour écrire un vecteur est \verb?\vec? et non pas l'immonde \verb?\overrightarrow?. Il est aussi possible d'utiliser la commande \verb?\vv? du package \verb?esvect?, adaptée pour l'écriture de vecteurs.

\begin{codedisplay}{}
%\usepackage{esvect} % Commande \vv{AB}

Pour les vecteurs, utiliser $\vec{u}$ ou $\vv{u}$ est mieux que $\overrightarrow{u}$.
\end{codedisplay}

Pour placer des barres verticales, ne pas utiliser \keys{\AltGr + 6} mais la commande \verb?\lvert? pour la gauche ou \verb?\rvert? pour la droite. \verb?\lVert? et \verb?\rVert? sont aussi disponibles pour placer des doubles barres. \\

Dans le cas de délimiteurs, il faut donc procéder ainsi : \verb?\left\vert? et \verb?\right\vert? ; \verb?\left\Vert? et \verb?\right\Vert? pour des doubles barres.

\begin{codedisplay}{}
Valeur absolue : $\lvert x \rvert < 215$.

Norme : $\lVert \vec{u} \rVert$ ou $\left\Vert \frac{\vec{u}}{13} \right\Vert$ (délimiteurs).
\end{codedisplay}

Pour mettre des accolades en-dessous d'une formule en mode mathématiques, la commande \verb?underbrace? est disponible. De même au-dessus avec \verb?overbrace?.

\begin{codedisplay}{}
Un cas bidon : \[\underbrace{1 - 1 + 1 - 1}_{= 0} + 13 = 13\]

De même : \[\overbrace{1 - 1 + 1 - 1}^{= 0} + 215 = 215\]
\end{codedisplay}

Le package \verb?mathrsfs? permet d'utiliser la commande \verb?\mathscr? pour donner un style différent de celui fourni par \verb?\mathcal?.

\begin{codedisplay}{}
%\usepackage{mathrsfs} % Commande \mathscr{C}

Changer la forme des lettres en mode mathématiques est intéressant, comme avec $\mathcal{X}$ pour le polynôme caractéristique ou $\mathscr{C}^0$ pour l'ensemble des fonctions continues.
\end{codedisplay}

Pour un intervalle avec des doubles barres, le package \verb?stmaryrd? et les commandes \verb?\llbracket? et \verb?\rrbracket? fonctionnent à merveille !

\begin{codedisplay}{}
%\usepackage{stmaryrd} % Commandes \llbracket & \rrbracket

Soit $n \in \mathbb{N}$. Soit $i \in \llbracket 0 ; n \rrbracket$.
\end{codedisplay}

\section{Limites et indiçage}

Il existe d'autres cas plus techniques, comme l'écriture de limites ou de plusieurs lignes d'indiçage dans une somme ou un produit : \begin{itemize}[label = \ding{118}]
\item écriture d'une limite : combiner les commandes \verb?\underset?, \verb?\to? et \verb?\lim? ;

\item empilement d'indices : emploi de \verb?\substack{<ind_1> \\ <ind_2>}?. \\
\end{itemize}

Voyons sur des cas concrets comment nous servir de ces commandes :

\begin{codedisplay}{Exemples concrets}
Limite : \[\underset{x \to +\infty}{\lim} f(x) = 0\]

Polynômes de Lagrange : \[L_k = \prod_{\substack{j = 0 \\ j \neq k}}^n \frac{X - a_j}{a_k - a_j}\]
\end{codedisplay}

La littérature montre l'existence d'une commande \verb?\limits? qui peut servir pour ces exemples. \textbf{Non seulement j'ai lu qu'il était déconseillé de l'utiliser}\footnote{Si tu veux savoir pourquoi, je te laisse chercher. Depuis le temps, j'ai oublié.}, mais tu peux obtenir un résultat propre sans cette commande donc évitons de nous compliquer la vie !